6.9. Вычислите интеграл $\int \frac{x^4 - 16x^2 + 5x + 8}{x^3 - 16x} dx$

$6.9. Вычислите интеграл $\int \frac{x^4 - 16x^2 + 5x + 8}{x^3 - 16x} dx$$

Фотография

Ответ ассистента

Для решения интеграла от неправильной рациональной дроби сначала выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель: 1. Разделим многочлен $x^4 - 16x^2 + 5x + 8$ на $x^3 - 16x$: $\begin{array}{rlll} x^4 & -16x^2 & +5x & +8 \\ \hline x^4 & -16x^2 \\ \hline & & 5x & +8 \end{array} \begin{array}{|l} x^3 - 16x \\ \hline x \end{array}$ Таким образом: $\frac{x^4 - 16x^2 + 5x + 8}{x^3 - 16x} = x + \frac{5x + 8}{x^3 - 16x}$ 2. Теперь представим дробь $\frac{5x + 8}{x(x^2 - 16)} = \frac{5x + 8}{x(x - 4)(x + 4)}$ в виде суммы простейших дробей: $\frac{5x + 8}{x(x - 4)(x + 4)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4} + \frac{C}{x + 4}$ $5x + 8 = A(x^2 - 16) + Bx(x + 4) + Cx(x - 4)$ При $x = 0$: $8 = -16A \Rightarrow A = -\frac{1}{2}$ При $x = 4$: $28 = 32B \Rightarrow B = \frac{28}{32} = \frac{7}{8}$ При $x = -4$: $-12 = 32C \Rightarrow C = -\frac{12}{32} = -\frac{3}{8}$ 3. Вычислим интеграл: $\int (x - \frac{1}{2x} + \frac{7}{8(x - 4)} - \frac{3}{8(x + 4)}) dx = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \ln |x| + \frac{7}{8} \ln |x - 4| - \frac{3}{8} \ln |x + 4| + C$ **Ответ:** $\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \ln |x| + \frac{7}{8} \ln |x - 4| - \frac{3}{8} \ln |x + 4| + C$

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи