797. Два слесаря выполнили задание за 12 ч. Если бы половину задания выполнил первый, а оставшуюся часть второй, то первому потребовалось бы времени на 5 ч больше, чем второму. За сколько часов каждый из них мог бы выполнить задание?

Пусть $x$ ч — время, за которое первый слесарь может выполнить всё задание, а $y$ ч — время второго слесаря. Тогда их производительности равны $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$ задания в час соответственно. 1. Составим уравнение по первому условию (вместе за 12 ч): $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$ 2. Составим уравнение по второму условию (половина задания): Первый потратит $\frac{x}{2}$ ч, второй — $\frac{y}{2}$ ч. Разница составляет 5 ч: $\frac{x}{2} - \frac{y}{2} = 5 \Rightarrow x - y = 10 \Rightarrow x = y + 10$ 3. Подставим $x$ в первое уравнение: $\frac{1}{y+10} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$ $\frac{y + y + 10}{y(y+10)} = \frac{1}{12}$ $12(2y + 10) = y^2 + 10y$ $24y + 120 = y^2 + 10y$ $y^2 - 14y - 120 = 0$ 4. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676 = 26^2$ $y_1 = \frac{14 + 26}{2} = 20$ $y_2 = \frac{14 - 26}{2} = -6$ (не подходит, так как время не может быть отрицательным) 5. Найдем $x$: $x = 20 + 10 = 30$ **Ответ: первый за 30 часов, второй за 20 часов.**