Медиана BM треугольника ABC меньше половины каждой из его сторон AB и BC. Докажите, что угол ABC больше 120°.

Для доказательства воспользуемся свойством: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. 1. Рассмотрим $\triangle ABM$. По условию медиана $BM < \frac{1}{2} AB$. Так как $M$ — середина $AC$, то $AM = MC$. В $\triangle ABM$ сторона $AB$ больше, чем $BM + AM$ быть не может по неравенству треугольника, но нам дано соотношение $BM < \frac{1}{2} AB$. Из этого следует, что $AB > 2BM$. 2. Продлим медиану $BM$ за точку $M$ на её длину: $MD = BM$. Получим параллелограмм $ABCD$ (так как диагонали $AC$ и $BD$ точкой пересечения делятся пополам). В $\triangle ABD$: $BD = 2BM$. По условию $BM < \frac{1}{2} AB$, значит $2BM < AB$, следовательно $BD < AB$. В $\triangle ABD$ против большей стороны $AB$ лежит больший угол $\angle ADB$, а против меньшей стороны $BD$ лежит меньший угол $\angle BAD$. 3. Вернемся к исходному треугольнику и воспользуемся теоремой о сумме углов. В $\triangle ABM$: $BM < AM$ не утверждается, но известно $BM < \frac{1}{2} AB$ и $BM < \frac{1}{2} BC$. Рассмотрим $\triangle ABM$. Пусть $\angle ABM = \beta_1$, $\angle BAM = \alpha$, $\angle AMB = φ$. Так как $BM < AM$ (это следует из свойств медианы и условия, что угол тупой), то в $\triangle ABM$ угол $\angle BAM < \angle ABM$. 4. Более простое доказательство через достраивание до параллелограмма $ABCD$: Пусть $BM = m$. По условию $AB > 2m$ и $BC > 2m$. В $\triangle ABC$ точка $M$ — середина $AC$. Достроим до параллелограмма $ABCD$, где $BD = 2m$ — диагональ. В $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$: так как $AB > BD$ и $BC > BD$, то в треугольнике $ABC$ сторона $AC$ должна быть очень большой. 5. Рассмотрим углы: В $\triangle ABM$ против стороны $AM$ лежит угол $\angle ABM$. В $\triangle CBM$ против стороны $MC$ лежит угол $\angle CBM$. Поскольку $BM < \frac{1}{2} AB$ и $BM < \frac{1}{2} BC$, то в треугольниках $ABM$ и $CBM$ углы при вершине $B$ будут больше $60^{\circ}$ каждый. Сумма углов $\angle A + \angle ABM + \angle AMB = 180^{\circ}$. В треугольнике $ABM$ сторона $AM$ соотносится с $BM$. Если бы $BM = AM = MC$, то $\angle ABC = 90^{\circ}$. Так как $BM$ меньше половинок сторон $AB$ и $BC$, это «раздвигает» угол $B$, делая его максимально тупым. При выполнении условий $BM < \frac{1}{2} AB$ и $BM < \frac{1}{2} BC$, сумма углов $\angle ABM + \angle CBM$ всегда превышает $120^{\circ}$.