Медиана BM треугольника ABC меньше половины каждой из его сторон AB и BC. Докажите, что угол ABC больше 120 градусов.

В задаче используется теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. **Дано:** $BM$ — медиана $\triangle ABC$ $BM < \frac{1}{2} AB \Rightarrow AB > 2BM$ $BM < \frac{1}{2} BC \Rightarrow BC > 2BM$ **Доказать:** $\angle ABC > 120^{\circ}$ **Доказательство:** 1. Продлим медиану $BM$ за точку $M$ на отрезок $MD = BM$. Тогда $BD = 2BM$. Рассмотрим получившийся параллелограмм $ABCD$ (так как диагонали $AC$ и $BD$ точкой пересечения $M$ делятся пополам). 2. Рассмотрим $\triangle ABD$. В нём стороны $AB$, $AD$ (равна $BC$) и диагональ $BD$. По условию $AB > 2BM$, значит $AB > BD$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, следовательно $\angle ADB > \angle DAB$. 3. В $\triangle BCD$ аналогично: $BC > 2BM$, значит $BC > BD$. Так как $CD = AB$, то в $\triangle BCD$ сторона $CD > BD$, следовательно $\angle CBD > \angle BDC$. **Альтернативный путь через углы (7 класс):** 1. Пусть $\angle ABM = \alpha$, $\angle CBM = \beta$. Тогда $\angle ABC = \alpha + \beta$. 2. Отложим на луче $BM$ точку $D$ так, что $BM = MD$. Получим $\triangle ABM$ и $\triangle MCD$. Они равны по двум сторонам и углу между ними ($AM=MC$, $BM=MD$, $\angle AMB = \angle CMD$ как вертикальные). Значит $AB = CD$ и $\angle ABM = \angle CDM = \alpha$. 3. В $\triangle BCD$ имеем: $BD = 2BM$. По условию $BC > 2BM$, значит $BC > BD$. Против большей стороны лежит больший угол: $\angle BDC > \angle BCD$. Так как $\angle BDC = \alpha$ (из равенства треугольников), то $\alpha > \angle BCD$. 4. В $\triangle BCD$ сумма углов $180^{\circ}$: $\beta + \alpha + \angle BCD = 180^{\circ}$. 5. Так как $\alpha > \angle BCD$, то $\beta + \alpha + \alpha > 180^{\circ}$, то есть $\beta + 2\alpha > 180^{\circ}$. 6. Аналогично, рассматривая равенство $\triangle CBM$ и $\triangle ADM$, получим $AD = BC$. В $\triangle ABD$ сторона $AB > BD = 2BM$, значит $\angle ADB > \angle ABD$, то есть $\beta > \angle BAD$. Сумма углов в $\triangle ABD$: $\alpha + \beta + \angle BAD = 180^{\circ}$. 7. Так как $\beta > \angle BAD$, то $\alpha + \beta + \beta > 180^{\circ}$, то есть $\alpha + 2\beta > 180^{\circ}$. 8. Сложим два неравенства: $(\beta + 2\alpha) + (\alpha + 2\beta) > 180^{\circ} + 180^{\circ}$ $3\alpha + 3\beta > 360^{\circ}$ $3(\alpha + \beta) > 360^{\circ}$ $\alpha + \beta > 120^{\circ}$ Так как $\angle ABC = \alpha + \beta$, то $\angle ABC > 120^{\circ}$. Что и требовалось доказать.