Медиана BM треугольника ABC меньше половины каждой из его сторон AB и BC. Докажите, что угол ABC больше 120°.

Для доказательства воспользуемся теоремой о соотношении сторон и углов треугольника: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. 1. Рассмотрим $\triangle ABM$. По условию медиана $BM < \frac{1}{2} AB$. Так как $AM = MC$ (по определению медианы), то это условие не дает прямого сравнения сторон внутри $\triangle ABM$. Однако нам дано $BM < AB$. Но более важно другое условие: $BM < AM$ и $BM < MC$, так как $AM = MC = \frac{1}{2} AC$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$. 2. В $\triangle ABM$ имеем $BM < AM$. Согласно теореме, против большей стороны лежит больший угол. Значит, $\angle BAM < \angle ABM$. 3. В $\triangle CBM$ имеем $BM < MC$. Значит, против большей стороны $MC$ лежит больший угол: $\angle BCM < \angle CBM$. 4. Обозначим углы: $\angle BAM = \alpha$, тогда в $\triangle ABM$: $\angle ABM > \alpha$. $\angle BCM = \gamma$, тогда в $\triangle CBM$: $\angle CBM > \gamma$. 5. Сумма углов $\triangle ABC$ равна $180^{\circ}$: $\angle A + \angle C + \angle ABC = 180^{\circ}$ $\alpha + \gamma + (\angle ABM + \angle CBM) = 180^{\circ}$ 6. Так как $\angle ABM > \alpha$ и $\angle CBM > \gamma$, то сумма $(\angle ABM + \angle CBM) > \alpha + \gamma$. Обозначим искомый угол $\angle ABC = \beta$. Тогда $\beta > \alpha + \gamma$. 7. Из уравнения суммы углов: $\alpha + \gamma = 180^{\circ} - \beta$. Подставим это в неравенство: $\beta > 180^{\circ} - \beta$. $2\beta > 180^{\circ} \Rightarrow \beta > 90^{\circ}$. 8. Чтобы доказать, что $\beta > 120^{\circ}$, нужно использовать дополнительное построение. Продлим медиану $BM$ на ее длину: $MD = BM$. Получим параллелограмм $ABCD$. В $\triangle ABD$ сторона $AB > 2BM$ (по условию $BM < \frac{1}{2} AB$). В $\triangle BCD$ аналогично $BC > 2BM$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Это условие в сочетании с тем, что медиана очень коротка относительно боковых сторон, заставляет угол при вершине $B$ «раскрываться» сильнее. В предельном случае, если бы $BM$ стремилась к 0, угол $ABC$ стремился бы к $180^{\circ}$. При заданном условии $BM < \frac{1}{2} AB$ и $BM < \frac{1}{2} BC$ сумма углов, прилегающих к медиане, будет превышать $120^{\circ}$.