Докажите, что отрезок, соединяющий точки касания окружности со сторонами угла, перпендикулярен его биссектрисе.

Пусть дан угол с вершиной $A$. В этот угол вписана окружность, которая касается его сторон в точках $B$ и $C$. Проведём биссектрису угла $A$, на которой лежит центр окружности $O$. Соединим точки касания $B$ и $C$ отрезком. 1. По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, отрезки касательных равны: $AB = AC$. Следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный. 2. Биссектриса угла $A$ (луч $AO$) является биссектрисой равнобедренного треугольника $ABC$, проведённой к его основанию $BC$. 3. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведённая к основанию, также является его высотой. 4. Так как биссектриса угла является высотой для отрезка $BC$, то она перпендикулярна ему ($AO \perp BC$). **Что и требовалось доказать.** :::div .chart-container @chart-1:::