Вопросы для повторения к главе VIII: Что называется отношением двух отрезков?

### Вопросы для повторения к главе VIII (Подобные треугольники) 1. **Отношением двух отрезков** называется отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения. 2. Отрезки $AB$ и $CD$ называются **пропорциональными** отрезкам $A_1B_1$ и $C_1D_1$, если их отношения равны: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1}$. 3. **Подобными треугольниками** называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны. 4. **Теорема об отношении площадей подобных треугольников**: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия ($k^2$). *Доказательство*: Пусть $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ с коэффициентом $k$. Тогда $\frac{S}{S_1} = \frac{0,5 ∙ AB ∙ AC ∙ \sin A}{0,5 ∙ A_1B_1 ∙ A_1C_1 ∙ \sin A_1}$. Так как $\angle A = \angle A_1$, а стороны пропорциональны, то $\frac{S}{S_1} = k ∙ k = k^2$. 5. **Первый признак подобия треугольников (по двум углам)**: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. 6. **Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними)**: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. 7. **Третий признак подобия треугольников (по трём сторонам)**: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны. 8. **Средней линией треугольника** называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. *Теорема*: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. 9. **Теорема о медианах**: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. (Доказывается через подобие треугольников, образованных медианами и средней линией). 10. **Утверждение о высоте прямоугольного треугольника**: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. 11. **Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике**: * Высота, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу ($h^2 = a_c ∙ b_c$). * Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу ($a^2 = c ∙ a_c$, $b^2 = c ∙ b_c$).