На конференцию собрались учёные. Могло ли оказаться так, что пятеро из них знакомы ровно с тремя другими, а все остальные имеют ровно четверых знакомых среди собравшихся?

127. Степень вершины в графе знакомств соответствует количеству знакомых у этого человека. По лемме о рукопожатиях, сумма степеней всех вершин любого графа всегда является чётным числом (так как каждое ребро учитывается дважды). Пусть $n$ — общее количество учёных на конференции. По условию: - 5 учёных имеют степень 3 (сумма их степеней $5 \times 3 = 15$); - остальные $(n - 5)$ учёных имеют степень 4 (сумма их степеней $4 \times (n - 5)$). Общая сумма степеней вершин: $S = 15 + 4(n - 5) = 15 + 4n - 20 = 4n - 5$. Поскольку $4n$ всегда чётное число, то $4n - 5$ всегда будет нечётным числом. Сумма степеней не может быть нечётной, значит, такая ситуация невозможна. **Ответ: нет, не могло.** 129. Каждое ребро в графе соединяет две вершины. При подсчёте суммы степеней всех вершин каждое ребро учитывается ровно два раза (по одному разу для каждой из двух вершин, которые оно соединяет). Следовательно, сумма степеней всех вершин равна $2E$, где $E$ — количество рёбер. Это число вдвое больше количества рёбер. 130. Используем формулу из задачи 129: сумма степеней вершин равна удвоенному количеству рёбер ($2E$). а) Сумма степеней: $2+2+3+3+4+4 = 18$. Количество рёбер: $18 : 2 = 9$. б) Сумма степеней: $0+1+2+2+3+4 = 12$. Количество рёбер: $12 : 2 = 6$. **Ответ: а) 9 рёбер; б) 6 рёбер.**