1. Найдите третий, четвертый и шестой члены последовательности, если n-й член которой an = 3^n + n. 2. Запишите последовательность первых восьми членов, если n-й член последовательности записан формулой an = 2(5 - 3n). 3. Напишите восемь первых членов арифметической прогрессии, в которой a1 = -3, d = 5. 4. Будет ли арифметической прогрессией последовательность n-й член которой an = 5 - 4n. 5. Найдите сумму первых сорока пяти членов арифметической прогрессии 13, 10, 7, ...

1. Подставим значения $n = 3, 4, 6$ в формулу $a_n = 3^n + n$: $a_3 = 3^3 + 3 = 27 + 3 = 30$ $a_4 = 3^4 + 4 = 81 + 4 = 85$ $a_6 = 3^6 + 6 = 729 + 6 = 735$ Ответ: 30; 85; 735. 2. Подставим $n$ от 1 до 8 в формулу $a_n = 2(5 - 3n)$: $a_1 = 2(5 - 3 \cdot 1) = 2 \cdot 2 = 4$ $a_2 = 2(5 - 3 \cdot 2) = 2 \cdot (-1) = -2$ $a_3 = 2(5 - 3 \cdot 3) = 2 \cdot (-4) = -8$ $a_4 = 2(5 - 3 \cdot 4) = 2 \cdot (-7) = -14$ $a_5 = 2(5 - 3 \cdot 5) = 2 \cdot (-10) = -20$ $a_6 = 2(5 - 3 \cdot 6) = 2 \cdot (-13) = -26$ $a_7 = 2(5 - 3 \cdot 7) = 2 \cdot (-16) = -32$ $a_8 = 2(5 - 3 \cdot 8) = 2 \cdot (-19) = -38$ Ответ: 4; -2; -8; -14; -20; -26; -32; -38. 3. Используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$: $S_8 = \frac{2 \cdot (-3) + 5 \cdot (8-1)}{2} \cdot 8 = \frac{-6 + 35}{2} \cdot 8 = \frac{29}{2} \cdot 8 = 29 \cdot 4 = 116$ Ответ: 116. 4. Проверим разность между соседними членами $a_n$ и $a_{n-1}$: $a_n = 5 - 4n$ $a_{n-1} = 5 - 4(n-1) = 5 - 4n + 4 = 9 - 4n$ $d = a_n - a_{n-1} = (5 - 4n) - (9 - 4n) = 5 - 4n - 9 + 4n = -4$ Так как разность $d = -4$ является константой (не зависит от $n$), последовательность является арифметической прогрессией. Ответ: Да. 5. Дана прогрессия: 13, 10, 7, ... $a_1 = 13$ $d = 10 - 13 = -3$ Найдем сумму первых 45 членов по формуле $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$: $S_{45} = \frac{2 \cdot 13 + (-3) \cdot (45-1)}{2} \cdot 45 = \frac{26 - 132}{2} \cdot 45 = \frac{-106}{2} \cdot 45 = -53 \cdot 45 = -2385$ Ответ: -2385.