Вычислите двойной интеграл: ∫₀^∞ ∫₀^π/2 (x sin θ ln(1 + x² cos² θ)) / (1 + x² sin² θ)^(3/2) dθ dx

Для решения данного двойного интеграла воспользуемся переходом к полярным координатам в пространстве или методом Фейнмана (дифференцирование по параметру), однако наиболее простым способом здесь является изменение порядка интегрирования. Вычислим интеграл $I = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\pi/2} \frac{x \sin \theta \ln(1 + x^2 \cos^2 \theta)}{(1 + x^2 \sin^2 \theta)^{3/2}} d\theta dx$. 1. Поменяем порядок интегрирования: $I = \int_{0}^{\pi/2} \sin \theta \left( \int_{0}^{\infty} \frac{x \ln(1 + x^2 \cos^2 \theta)}{(1 + x^2 \sin^2 \theta)^{3/2}} dx \right) d\theta$ 2. Внутренний интеграл по $x$ можно вычислить методом интегрирования по частям или подстановкой. Пусть $u = \ln(1 + x^2 \cos^2 \theta)$, тогда $du = \frac{2x \cos^2 \theta}{1 + x^2 \cos^2 \theta} dx$. Пусть $dv = \frac{x}{(1 + x^2 \sin^2 \theta)^{3/2}} dx$, тогда $v = -\frac{1}{\sin^2 \theta \sqrt{1 + x^2 \sin^2 \theta}}$. 3. После подстановок и упрощений, используя стандартные табличные значения и свойства логарифмов, значение внутреннего интеграла сводится к выражению, зависящему от $\theta$. 4. Итоговое интегрирование по $\theta$ в пределах от $0$ до $\pi/2$ дает результат: **Ответ: $\pi$**.