Билет 4. 1. Дайте определение прямоугольного треугольника, сформулируйте свойства прямоугольного треугольника (без доказательства), сделайте чертеж. 2. Доказать теорему о сумме углов треугольника. 3. Доказать равенство треугольников ADM и AFE. 4. Один из внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, в 3 раза больше другого. Чему равны эти углы?

1. **Определение**: Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой ($90^\circ$). **Свойства**: - Сумма двух острых углов равна $90^\circ$. - Катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. - Гипотенуза всегда больше любого из катетов. - Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора). **Чертеж**: Треугольник с прямым углом при вершине $C$, катетами $a, b$ и гипотенузой $c$. 2. **Теорема о сумме углов треугольника**: Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. **Доказательство**: Пусть дан $\triangle ABC$. Проведем через вершину $B$ прямую $a \parallel AC$. При параллельных прямых $a$ и $AC$ и секущей $AB$ накрест лежащие углы равны: $\angle 1 = \angle A$. При секущей $BC$ накрест лежащие углы равны: $\angle 3 = \angle C$. Углы $\angle 1, \angle 2$ (угол $B$) и $\angle 3$ в сумме образуют развернутый угол, то есть $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$. Заменяя $\angle 1$ на $\angle A$ и $\angle 3$ на $\angle C$, получаем: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Что и требовалось доказать. 3. **Доказательство равенства $\triangle ADM$ и $\triangle AFE$**: Рассмотрим треугольники по рисунку: - $AD = AF$ (по условию, отмечено штрихами); - $AM = AE$ (по условию, отмечено штрихами); - $\angle DAM = \angle FAE$ (как вертикальные углы). Следовательно, $\triangle ADM = \triangle AFE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 4. **Задача на односторонние углы**: Пусть меньший угол равен $x$. Тогда больший угол равен $3x$. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна $180^\circ$. Составим уравнение: $x + 3x = 180$ $4x = 180$ $x = 180 / 4 = 45$ Меньший угол: $45^\circ$. Больший угол: $3 \times 45^\circ = 135^\circ$. **Ответ: 45° и 135°**.