В прямоугольнике ABCD сторона AD=a, угол между диагоналями равен α. Найдите CD, AC, S_ABCD.

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольника: его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. 1. Рассмотрим треугольник $OCD$. Так как $AC = BD$ (диагонали прямоугольника) и $AO = OC$, $BO = OD$, то $OC = OD$. Значит, $\triangle OCD$ — равнобедренный. 2. Угол между диагоналями $\angle COD = \alpha$. По теореме косинусов для $\triangle OCD$, где $OC = OD = R$: $CD^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R^2 \cdot \cos \alpha = 2R^2(1 - \cos \alpha) = 4R^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$. Но из чертежа видно, что сторона $AD = a$. В прямоугольнике $CD = AB$. Если предположить, что $a$ — это сторона $AD$, а не элемент диагонали, то из $\triangle ACD$: $CD = a \cdot \tan(\angle CAD)$. Угол $\angle CAD$ связан с углом $\alpha$. В равнобедренном $\triangle AOD$ (где $AO=OD$) внешний угол $\angle COD = \alpha$. Значит, $\angle OAD + \angle ODA = \alpha$, откуда $\angle CAD = \frac{\alpha}{2}$. Решение через сторону $AD = a$ и угол $\alpha$: 1. Найдём $CD$ из $\triangle ACD$: $CD = AD \cdot \tan \frac{\alpha}{2} = a \tan \frac{\alpha}{2}$. 2. Найдём $AC$ из $\triangle ACD$: $AC = \frac{AD}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{a}{\cos \frac{\alpha}{2}}$. 3. Найдём площадь $S_{ABCD}$: $S_{ABCD} = AD \cdot CD = a \cdot a \tan \frac{\alpha}{2} = a^2 \tan \frac{\alpha}{2}$. **Ответ:** $CD = a \tan \frac{\alpha}{2}$, $AC = \frac{a}{\cos \frac{\alpha}{2}}$, $S_{ABCD} = a^2 \tan \frac{\alpha}{2}$.