Последнюю цифру шестизначного числа переставили на первое место, после чего полученное число прибавили к исходному. Какие числа из промежутка [375300;375330] могли получиться в результате сложения?

Пусть исходное шестизначное число имеет вид $\overline{abcde f}$. По условию его можно записать как $10 × \overline{abcde} + f$. После перестановки последней цифры на первое место получается число $\overline{fabcde}$, которое можно записать как $100000f + \overline{abcde}$. Сложим эти два числа: $(10 × \overline{abcde} + f) + (100000f + \overline{abcde}) = 11 × \overline{abcde} + 100001f$. Заметим, что число $100001$ делится на $11$ ($100001 = 11 × 9091$). Тогда сумму можно представить как: $11 × \overline{abcde} + 11 × 9091f = 11 × (\overline{abcde} + 9091f)$. Это означает, что полученная сумма обязательно должна делиться на $11$. Проверим числа из промежутка $[375300; 375330]$ на делимость на $11$: 1. $375300 / 11 ≈ 34118,18$ 2. $375309 / 11 = 34119$ — делится. 3. Следующее число: $375309 + 11 = 375320$ — делится. 4. Следующее число: $375320 + 11 = 375331$ — вне промежутка. Проверим, существуют ли подходящие исходные числа для найденных сумм: - Для $375309$: $11 × (\overline{abcde} + 9091f) = 375309 \Rightarrow \overline{abcde} + 9091f = 34119$. Если $f=3$, то $\overline{abcde} = 34119 - 27273 = 6846$. Это пятизначное число $06846$. Исходное число $068463$ не является шестизначным (начинается с $0$). Если $f=2$, то $\overline{abcde} = 34119 - 18182 = 15937$. Исходное число $159372$. Проверка: $159372 + 215937 = 375309$. Подходит. - Для $375320$: $11 × (\overline{abcde} + 9091f) = 375320 \Rightarrow \overline{abcde} + 9091f = 34120$. Если $f=3$, то $\overline{abcde} = 34120 - 27273 = 6847$ (не шестизначное). Если $f=2$, то $\overline{abcde} = 34120 - 18182 = 15938$. Исходное число $159382$. Проверка: $159382 + 215938 = 375320$. Подходит. **Ответ: 375309, 375320**