В треугольнике MNK на стороне MK отметили произвольную точку P. В треугольнике MNP провели биссектрису PT. В треугольнике NKP построили высоту PQ. Угол TPQ равен 90°, PK = 13. Найди NP.

Для решения задачи рассмотрим углы при вершине $P$, которая лежит на стороне $MK$. Точки $M, P, K$ лежат на одной прямой, поэтому $\angle MPK = 180^{\circ}$ (развернутый угол). 1. Обозначим углы: - В $\triangle MNP$ проведена биссектриса $PT$. Пусть $\angle MPT = \angle TPN = \alpha$. - В $\triangle NKP$ проведена высота $PQ$. Так как $PQ \perp NK$, это не дает прямой информации о величине углов при вершине $P$ относительно прямой $MK$, кроме того, что $\angle NPQ + \angle QPK = \angle NPK$. 2. Используем условие $\angle TPQ = 90^{\circ}$: $\angle TPQ = \angle TPN + \angle NPQ = \alpha + \angle NPQ = 90^{\circ}$. 3. Выразим развернутый угол $\angle MPK$ через его составляющие: $\angle MPK = \angle MPT + \angle TPN + \angle NPK = 180^{\circ}$ $\alpha + \alpha + \angle NPK = 180^{\circ}$ $2\alpha + \angle NPK = 180^{\circ}$ Отсюда $\angle NPK = 180^{\circ} - 2\alpha = 2(90^{\circ} - \alpha)$. 4. Из шага 2 мы знаем, что $90^{\circ} - \alpha = \angle NPQ$. Подставим это в выражение для $\angle NPK$: $\angle NPK = 2 \cdot \angle NPQ$. 5. Так как $\angle NPK = \angle NPQ + \angle QPK$, получаем: $\angle NPQ + \angle QPK = 2 \cdot \angle NPQ$ $\angle QPK = \angle NPQ$. 6. Рассмотрим $\triangle NPK$. В нем отрезок $PQ$ является и высотой (по условию $PQ \perp NK$), и биссектрисой (так как $\angle NPQ = \angle QPK$). Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то такой треугольник — равнобедренный с основанием $NK$. Следовательно, боковые стороны равны: $NP = PK$. 7. По условию $PK = 13$, значит $NP = 13$. **Ответ: 13**