Решите выражения с использованием формул сокращённого умножения: (a-3)², (x-4)(x+4), (2y+5)², (5x+2y)³, (x²-y²)³, 8a³-27b³, 125x³+64y³.

Для решения этих примеров используются формулы сокращённого умножения (ФСУ). Рассмотрим каждый пункт подробно. 1) $(a-3)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9$ **Объяснение:** Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Мы возводим первое число в квадрат, вычитаем удвоенное произведение первого на второе и прибавляем квадрат второго числа. 2) $(x-4)(x+4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$ **Объяснение:** Используем формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности их квадратов. 3) $(2y+5)^2 = (2y)^2 + 2 \cdot 2y \cdot 5 + 5^2 = 4y^2 + 20y + 25$ **Объяснение:** Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Важно: при возведении $(2y)$ в квадрат, в квадрат возводится и число, и буква. 4) $(5x+2y)^3 = (5x)^3 + 3 \cdot (5x)^2 \cdot 2y + 3 \cdot 5x \cdot (2y)^2 + (2y)^3 = 125x^3 + 150x^2y + 60xy^2 + 8y^3$ **Объяснение:** Используем формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. 5) $(x^2 - y^2)^3 = (x^2)^3 - 3 \cdot (x^2)^2 \cdot y^2 + 3 \cdot x^2 \cdot (y^2)^2 - (y^2)^3 = x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6$ **Объяснение:** Используем формулу куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$. 6) $8a^3 - 27b^3 = (2a)^3 - (3b)^3 = (2a - 3b)((2a)^2 + 2a \cdot 3b + (3b)^2) = (2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2)$ **Объяснение:** Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. Сначала представляем каждое слагаемое как куб выражения. 7) $125x^3 + 64y^3 = (5x)^3 + (4y)^3 = (5x + 4y)((5x)^2 - 5x \cdot 4y + (4y)^2) = (5x + 4y)(25x^2 - 20xy + 16y^2)$ **Объяснение:** Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Вторая скобка называется «неполный квадрат разности».