Question

Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

Accepted Answer

1. Сумма градусных мер всех дуг окружности равна $360^{\circ}$. Обозначим одну часть через $x$. Тогда дуги равны $3x$, $4x$ и $11x$.
$3x + 4x + 11x = 360^{\circ}$
$18x = 360^{\circ}$
$x = 20^{\circ}$

2. Найдём градусную меру каждой дуги:
$\cup_{1} = 3 \cdot 20^{\circ} = 60^{\circ}$
$\cup_{2} = 4 \cdot 20^{\circ} = 80^{\circ}$
$\cup_{3} = 11 \cdot 20^{\circ} = 220^{\circ}$

3. Меньшая сторона треугольника лежит против меньшей дуги (так как хорда стягивает дугу). Меньшая дуга равна $60^{\circ}$.

4. В треугольнике, вписанном в окружность, сторона $a$, стягивающая дугу $\alpha$, связана с радиусом $R$ формулой: $a = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$, где $\frac{\alpha}{2}$ — вписанный угол, опирающийся на эту дугу.
Для дуги $60^{\circ}$ вписанный угол равен $30^{\circ}$. По теореме синусов:
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = 2R$
$14 = 2R \cdot \sin 30^{\circ}$
$14 = 2R \cdot 0,5$
$R = 14$

Ответ: 14

Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

Ответ ассистента

Другие решения