594 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен β. а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через b и β. б) Найдите их значения, если b = 10 см, β = 50°.

594. а) Пусть второй катет равен $a$, противолежащий ему угол равен $\alpha$, а гипотенуза равна $c$. 1. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то $\alpha = 90^\circ - \beta$. 2. Из определения тангенса: $\tan \beta = \frac{b}{a} \Rightarrow a = \frac{b}{\tan \beta} = b \cdot \cot \beta$. 3. Из определения синуса: $\sin \beta = \frac{b}{c} \Rightarrow c = \frac{b}{\sin \beta}$. б) При $b = 10$ см, $\beta = 50^\circ$: $\alpha = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$; $a = 10 \cdot \cot 50^\circ \approx 10 \cdot 0,839 = 8,39$ (см); $c = \frac{10}{\sin 50^\circ} \approx \frac{10}{0,766} \approx 13,05$ (см). 595. а) Пусть второй катет равен $a$, противолежащий ему острый угол равен $\beta$, а гипотенуза равна $c$. 1. Сумма острых углов $90^\circ$: $\beta = 90^\circ - \alpha$. 2. Из определения тангенса: $\tan \alpha = \frac{a}{b} \Rightarrow a = b \cdot \tan \alpha$. 3. Из определения косинуса: $\cos \alpha = \frac{b}{c} \Rightarrow c = \frac{b}{\cos \alpha}$. б) При $b = 12$ см, $\alpha = 42^\circ$: $\beta = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$; $a = 12 \cdot \tan 42^\circ \approx 12 \cdot 0,9 = 10,8$ (см); $c = \frac{12}{\cos 42^\circ} \approx \frac{12}{0,743} \approx 16,15$ (см). **Ответ: 594. а) $a = b \cot \beta$, $\alpha = 90^\circ - \beta$, $c = \frac{b}{\sin \beta}$; б) $\approx 8,39$ см, $40^\circ$, $\approx 13,05$ см. 595. а) $a = b \tan \alpha$, $\beta = 90^\circ - \alpha$, $c = \frac{b}{\cos \alpha}$; б) $\approx 10,8$ см, $48^\circ$, $\approx 16,15$ см.**