Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведенной из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведенных из вершин острых углов, — на продолжениях сторон.

Для доказательства вспомним определение высоты и свойства углов треугольника. 1. **Высота из вершины тупого угла:** Пусть в $\triangle ABC$ угол $\angle B$ — тупой (больше $90^\circ$). Высота $BH$ опускается на сторону $AC$. Так как $\angle A$ и $\angle C$ острые (сумма углов треугольника $180^\circ$, и на них двоих остается меньше $90^\circ$), то перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на прямую $AC$, обязательно упадет между точками $A$ и $C$. Если бы точка $H$ лежала вне отрезка $AC$, то в одном из образовавшихся прямоугольных треугольников ($\triangle ABH$ или $\triangle CBH$) нашелся бы еще один тупой или прямой угол при основании, что невозможно. Значит, основание высоты **лежит на стороне**. 2. **Высоты из вершин острых углов:** Рассмотрим высоту $AM$ из острого угла $\angle A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. В треугольнике $\triangle ABM$ угол $\angle AMB = 90^\circ$. Если бы точка $M$ лежала на отрезке $BC$, то $\angle ABC$ был бы острым углом прямоугольного треугольника $\triangle ABM$. Но по условию $\angle ABC$ — тупой. Смежный с ним угол $\angle ABM$ будет острым только в том случае, если луч $BM$ направлен в противоположную сторону от точки $C$. Следовательно, точка $M$ лежит **на продолжении стороны** $BC$. Аналогично доказывается для высоты из угла $\angle C$.