В треугольнике ABC угол C равен 90°, стороны AC и BC равны. На стороне AB отметили точку P так, что угол ACP равен 18°. Найдите градусную меру угла APC. Стороны AC и BC треугольника ABC равны. Луч CM является биссектрисой внешнего угла BCD, угол MCD равен 53°. Найдите угол BAC.

5. 1. Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как $\angle C = 90^{\circ}$ и $AC = BC$, то $\triangle ABC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, $\angle A = \angle B = (180^{\circ} - 90^{\circ}) : 2 = 45^{\circ}$. 2. Рассмотрим $\triangle APC$. По условию $\angle ACP = 18^{\circ}$. Мы уже нашли, что $\angle PAC (\angle A) = 45^{\circ}$. 3. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$. В $\triangle APC$: $\angle APC = 180^{\circ} - (\angle PAC + \angle ACP) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 18^{\circ}) = 180^{\circ} - 63^{\circ} = 117^{\circ}$. **Ответ: 117**. 6. 1. Так как $CM$ — биссектриса $\angle BCD$, то $\angle BCM = \angle MCD = 53^{\circ}$. 2. Весь внешний $\angle BCD = \angle BCM + \angle MCD = 53^{\circ} + 53^{\circ} = 106^{\circ}$. 3. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle BCD = \angle BAC + \angle ABC$. 4. В $\triangle ABC$ стороны $AC = BC$, значит, он равнобедренный и $\angle BAC = \angle ABC$. 5. Пусть $\angle BAC = x$, тогда: $x + x = 106^{\circ}$, $2x = 106^{\circ}$, $x = 53^{\circ}$. **Ответ: 53**.