Медиана AM треугольника ABC равна половине BC. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов в 2 раза больше угла треугольника?

1. **Медиана AM треугольника ABC равна половине BC. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.** Пусть $AM$ — медиана, значит $BM = MC = \frac{1}{2} BC$. По условию $AM = \frac{1}{2} BC$, следовательно, $AM = BM = MC$. В треугольнике $ABM$: $AM = BM \Rightarrow \triangle ABM$ равнобедренный, значит $\angle MAB = \angle B$. В треугольнике $ACM$: $AM = MC \Rightarrow \triangle ACM$ равнобедренный, значит $\angle MAC = \angle C$. Сумма углов треугольника $ABC$: $\angle B + \angle BAC + \angle C = 180^{\circ}$. Так как $\angle BAC = \angle MAB + \angle MAC = \angle B + \angle C$, то уравнение примет вид: $(\angle B + \angle C) + (\angle B + \angle C) = 180^{\circ}$ $2 \cdot (\angle B + \angle C) = 180^{\circ}$ $\angle B + \angle C = 90^{\circ} \Rightarrow \angle BAC = 90^{\circ}$. Треугольник $ABC$ — прямоугольный. 2. **Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов в 2 раза больше угла треугольника?** Да, верно. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (пусть это $\alpha$). Внешний угол при вершине равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, внешний угол при вершине равен $\alpha + \alpha = 2\alpha$, что в 2 раза больше угла при основании. **Ответ: 1. Доказано; 2. Да, верно.**