На отрезке AB отмечена точка C, а вне отрезка точки D и E. Известны величины трёх из отмеченных на рисунке семи углов: γ=67°, δ=38°, ε=29°. Заполните пропуски в фрагменте доказательства параллельности отрезков AD и BE.

Для решения задачи воспользуемся свойством развёрнутого угла и признаком параллельности прямых. 1. Найдём $\angle ACB$. Так как точки $A, C, B$ лежат на одной прямой, $\angle ACB = 180^{\circ}$. Из рисунка видно, что этот угол состоит из трёх частей: $\alpha, \gamma, \beta$. Тогда: $\angle ACB - 180^{\circ} \Rightarrow \alpha + \gamma + \beta = 180^{\circ}$ 2. Рассмотрим сумму углов в треугольниках $ADC$ и $BEC$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. Для $\triangle ADC$: $\alpha + \delta + \angle ADC = 180^{\circ} \Rightarrow \alpha = 180^{\circ} - \delta - \angle ADC$. По рисунку $\angle ADC = \zeta$, тогда $\alpha = 180^{\circ} - \delta - \zeta$. Для $\triangle BEC$: $\beta + \epsilon + \angle BEC = 180^{\circ} \Rightarrow \beta = 180^{\circ} - \epsilon - \angle BEC$. По рисунку $\angle BEC = \eta$, тогда $\beta = 180^{\circ} - \epsilon - \eta$. Подставим выражения для $\alpha$ и $\beta$ в уравнение $\alpha + \gamma + \beta = 180^{\circ}$: $(180^{\circ} - \zeta - \delta) + \gamma + (180^{\circ} - \eta - \epsilon) = 180^{\circ}$ $360^{\circ} - (\zeta + \eta) - (\delta + \epsilon) + \gamma = 180^{\circ}$ Из условия: $\gamma = 67^{\circ}, \delta = 38^{\circ}, \epsilon = 29^{\circ}$. Найдём $\alpha + \beta = 180^{\circ} - \gamma = 180^{\circ} - 67^{\circ} = 113^{\circ}$. Сумма внутренних односторонних углов $\angle DAC + \angle EBC = \alpha + \beta = 113^{\circ}$. Чтобы прямые $AD$ и $BE$ были параллельны, накрест лежащие углы при секущей $AB$ должны быть равны. Рассмотрим углы $\alpha$ и $\beta$ как накрест лежащие нельзя, они не образуют Z-фигуру. Проверим углы $\angle DAC$ и $\angle EBC$. В пропусках текста: 1. $\angle ACB = 180^{\circ} \Rightarrow \alpha + \gamma + \beta = 180^{\circ}$ 2. $180^{\circ} = (180^{\circ} - \zeta - \delta) + \gamma + (180^{\circ} - \eta - \epsilon) = 360^{\circ} - (\zeta + \eta) - (\delta + \epsilon) + \gamma$ Прямые $AD$ и $BE$ параллельны по равенству накрест лежащих углов при секущей $DE$ или $AB$ (в зависимости от построения). В предложенных вариантах для выбора: Если $\delta + \epsilon = \gamma$, то это не является стандартным признаком. Если рассмотреть сумму углов $\alpha$ и $\beta$, то для параллельности $AD \parallel BE$ (если они перпендикулярны $AB$) должно быть $\alpha = \beta = 90^{\circ}$, но здесь другой случай. Судя по структуре задания и пропускам: 1. $\alpha + \beta + \gamma$ 2. $\alpha + \beta + \gamma$ Прямые $AD$ и $BE$ параллельны по $\alpha + \beta = 113^{\circ}$. **Ответ:** 1. $\alpha + \gamma + \beta$ 2. $\alpha + \beta + \gamma$ Признак: $\alpha + \beta$