В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D, а на стороне AB - точка K, так что BD:DC=1:2, а BK:KA=4:1. Отрезки AD и CK пересекаются в точке E. Найти отношение площадей треугольников KBD и KDE.

1. Пусть $S_{ABC} = S$. Так как $BK:KA = 4:1$, то $BK = \frac{4}{5}AB$. Так как $BD:DC = 1:2$, то $BD = \frac{1}{3}BC$. Тогда площадь треугольника $KBD$: $S_{KBD} = \frac{BK}{AB} \cdot \frac{BD}{BC} \cdot S_{ABC} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} \cdot S = \frac{4}{15}S$. 2. По теореме Менелая для треугольника $ABD$ и прямой $K-E-C$ (точки $K, E, C$ лежат на одной прямой, где $C$ лежит на продолжении $BD$): $\frac{AK}{KB} \cdot \frac{BC}{CD} \cdot \frac{DE}{EA} = 1$. Подставим значения: $\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{DE}{EA} = 1 \Rightarrow \frac{3}{8} \cdot \frac{DE}{EA} = 1 \Rightarrow \frac{DE}{EA} = \frac{8}{3}$. Тогда $\frac{DE}{AD} = \frac{8}{8+3} = \frac{8}{11}$. 3. Найдём площадь треугольника $ABD$: $S_{ABD} = \frac{BD}{BC} \cdot S_{ABC} = \frac{1}{3}S$. Так как треугольники $KBD$ и $KDA$ имеют общую вершину $D$, их площади относятся как основания: $S_{KBD} = \frac{4}{5}S_{ABD}$, $S_{KDA} = \frac{1}{5}S_{ABD} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}S = \frac{1}{15}S$. 4. В треугольнике $KDA$ проведем отрезок $KE$. Площади треугольников $KDE$ и $KEA$ относятся как их основания $DE$ и $EA$ (общая высота из вершины $K$): $S_{KDE} = \frac{DE}{AD} \cdot S_{KDA} = \frac{8}{11} \cdot \frac{1}{15}S = \frac{8}{165}S$. 5. Найдём отношение площадей: $\frac{S_{KBD}}{S_{KDE}} = \frac{\frac{4}{15}S}{\frac{8}{165}S} = \frac{4}{15} \cdot \frac{165}{8} = \frac{1 \cdot 11}{2} = 5,5$. **Ответ: 5,5**