Решите задачи по геометрии на признаки параллельности прямых по готовым чертежам.

б) 1. Рассмотрим прямые $NK$ и $MP$. Углы $\angle TNM = 112^\circ$ и $\angle NMP = 68^\circ$ являются односторонними. Так как $112^\circ + 68^\circ = 180^\circ$, то по признаку параллельности прямых $NK \parallel MP$. 2. Так как $NK \parallel MP$, то накрест лежащие углы равны: $\angle TKP = \angle KPM = 68^\circ$. 3. По условию $PT$ — биссектриса $\angle MPK$, так как $\angle MPT = \angle TPK$. Значит, $\angle TPK = 68^\circ : 2 = 34^\circ$. 4. В треугольнике $TKP$ сумма углов равна $180^\circ$: $x = 180^\circ - 68^\circ - 34^\circ = 78^\circ$. **Ответ: 78°.** в) 1. $MO$ и $EO$ — биссектрисы внутренних односторонних углов при $a \parallel b$ и секущей $ME$. 2. Сумма односторонних углов $\angle AME + \angle MEB = 180^\circ$. 3. $\angle OME = \frac{1}{2}\angle AME$, $\angle MEO = \frac{1}{2}\angle MEB$. Тогда $\angle OME + \angle MEO = \frac{1}{2}(\angle AME + \angle MEB) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. 4. В $\triangle MOE$ сумма углов $180^\circ$, значит $\angle MOE = 180^\circ - (\angle OME + \angle MEO) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. **Что и требовалось доказать.** г) 1. По рисунку видно, что $\angle BAC = \angle ACD$ (отмечены дугами как равные). 2. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$, $CD$ и секущей $AC$. 3. Так как накрест лежащие углы равны, то $AB \parallel CD$ по признаку параллельности прямых. **Что и требовалось доказать.** д) 1. В $\triangle ABC$ отрезок $KP$ соединяет стороны. Рассмотрим углы при основании $AC$. 2. По условию $AB = BC$, значит $\triangle ABC$ — равнобедренный. Углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA = 80^\circ$. 3. На рисунке $\angle KAC = 40^\circ$ (часть угла $A$), значит вторая часть $\angle BAK = 80^\circ - 40^\circ = 40^\circ$. Видно, что $AK$ — биссектриса. 4. Рассмотрим прямые $a$ и $b$. Угол $\angle PKA = 40^\circ$ и угол $\angle KAC = 40^\circ$ являются накрест лежащими при секущей $AK$. Так как они равны, то $a \parallel b$. **Что и требовалось доказать.**