Question

К гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC с углом 15° проведены медиана CM и высота CH. Найдите AB, если CH = 4.

Accepted Answer

В прямоугольном треугольнике $	riangle ABC$ (где $\angle C = 90^{\circ}$) проведена медиана $CM$ к гипотенузе $AB$.

1. По свойству медианы прямоугольного треугольника, $CM = AM = MB = \frac{1}{2}AB$. Следовательно, $	riangle AMC$ и $	riangle BMC$ — равнобедренные.
2. Пусть $\angle A = 15^{\circ}$. Тогда в равнобедренном $	riangle AMC$ углы при основании равны: $\angle ACM = \angle A = 15^{\circ}$.
3. Внешний угол $\angle CMH$ треугольника $	riangle AMC$ равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle CMH = \angle A + \angle ACM = 15^{\circ} + 15^{\circ} = 30^{\circ}$.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $	riangle CHM$ (где $CH$ — высота, $CH \perp AB$). В нём $\angle CMH = 30^{\circ}$.
5. По свойству катета, лежащего против угла в $30^{\circ}$, гипотенуза $CM$ в два раза больше катета $CH$: $CM = 2 \cdot CH = 2 \cdot 4 = 8$.
6. Так как $CM = \frac{1}{2}AB$, то $AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 8 = 16$.

Ответ: 16.

К гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC с углом 15° проведены медиана CM и высота CH. Найдите AB, если CH = 4.

Ответ ассистента

Другие решения