Вариант 2. 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника. 2. В треугольнике ABC угол C равен 106°. Найдите внешний угол при вершине C. 3. Какова градусная мера угла C, изображенного на рисунке? 4. Одна из сторон тупоугольного равнобедренного треугольника на 17 см меньше другой. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 77 см. 5. Отрезок AK — биссектриса треугольника CAE. Через точку K проведена прямая, параллельная стороне CA и пересекающая сторону AE в точке N. Найдите углы треугольника AKN, если ∠CAE = 78°.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1) $180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$ (сумма углов при основании). 2) $128^{\circ} : 2 = 64^{\circ}$. **Ответ: 64^{\circ}, 64^{\circ}**. 2. Внешний угол треугольника при вершине $C$ является смежным с внутренним углом $C$. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$. $180^{\circ} - 106^{\circ} = 74^{\circ}$. **Ответ: 74**. 3. На рисунке прямые $AB$ и $CD$ пересечены секущими. Угол $43^{\circ}$ и угол $\angle BKF$ — соответственные. Если прямые параллельны, они равны. Однако, проверим по сумме односторонних углов: $105^{\circ} + 75^{\circ} = 180^{\circ}$. Угол $C$ (внутренний накрест лежащий с углом $43^{\circ}$ при параллельных прямых) будет равен $43^{\circ}$. **Ответ: 43^{\circ}**. 4. Пусть $x$ — боковая сторона, тогда основание может быть $x+17$ или $x-17$. В тупоугольном треугольнике основание (сторона против тупого угла) — наибольшая. Пусть боковые стороны равны $x$, а основание $x+17$. $x + x + (x + 17) = 77$ $3x = 60$ $x = 20$ (боковая сторона). $20 + 17 = 37$ (основание). Проверка: $20 + 20 > 37$ (неравенство треугольника выполняется). **Ответ: 20 см, 20 см, 37 см**. 5. 1) Так как $AK$ — биссектриса $\angle CAE$, то $\angle CAK = \angle KAE = 78^{\circ} : 2 = 39^{\circ}$. 2) Так как $KN \parallel AC$, то $\angle NKA = \angle CAK = 39^{\circ}$ (накрест лежащие при параллельных прямых $KN$ и $AC$ и секущей $AK$). 3) В $\triangle AKN$ имеем: $\angle KAN = 39^{\circ}$, $\angle NKA = 39^{\circ}$. 4) $\angle ANK = 180^{\circ} - (39^{\circ} + 39^{\circ}) = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ}$. **Ответ: 39^{\circ}, 39^{\circ}, 102^{\circ}**.