Решите логарифмическое неравенство x * log_{x+3}(7-2x) >= 0

Решим неравенство: $x \cdot \log_{x+3} (7-2x) \ge 0$. 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $\begin{cases} 7-2x > 0 \\ x+3 > 0 \\ x+3 \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 3,5 \\ x > -3 \\ x \neq -2 \end{cases} \Rightarrow x \in (-3; -2) \cup (-2; 3,5)$. 2. Применим метод рационализации для логарифма на ОДЗ: Множитель $\log_a b$ имеет тот же знак, что и произведение $(a-1)(b-1)$. $x \cdot (x+3-1) \cdot (7-2x-1) \ge 0$ $x \cdot (x+2) \cdot (6-2x) \ge 0$ $2x \cdot (x+2) \cdot (3-x) \ge 0$ 3. Решим методом интервалов: Корни выражения: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$, $x_3 = 3$. Расставим знаки на числовой прямой для функции $f(x) = 2x(x+2)(3-x)$: — При $x > 3$: $f(x) < 0$ (минус); — При $0 < x < 3$: $f(x) > 0$ (плюс); — При $-2 < x < 0$: $f(x) < 0$ (минус); — При $x < -2$: $f(x) > 0$ (плюс). Нам нужно $f(x) \ge 0$, значит: $x \in (-\infty; -2] \cup [0; 3]$. 4. С учетом ОДЗ $x \in (-3; -2) \cup (-2; 3,5)$: — Из первого промежутка $(-\infty; -2]$ подходит $(-3; -2)$. — Из второго промежутка $[0; 3]$ подходят все значения, так как они входят в интервал $(-2; 3,5)$. **Ответ: $x \in (-3; -2) \cup [0; 3]$**