1. Рис. 4.72. Дано: ∠BAE = 112°, ∠DBF = 68°, BC = 9 см. Найти: AC.

1. **Рис. 4.72.** 1) $\angle BAC = 180^{\circ} - \angle BAE = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}$ (как смежные). 2) $\angle ABC = \angle DBF = 68^{\circ}$ (как вертикальные). 3) Так как $\angle BAC = \angle ABC = 68^{\circ}$, то $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$. 4) В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны: $AC = BC = 9$ см. **Ответ: 9 см.** 2. **Рис. 4.73.** 1) $\angle ABC = 180^{\circ} - \angle CBM$, $\angle ACB = 180^{\circ} - \angle ACF$. Так как по условию $\angle CBM = \angle ACF$, то $\angle ABC = \angle ACB$. 2) Значит, $\triangle ABC$ — равнобедренный, $AB = AC$. 3) $P_{ABC} = AB + AC + BC = 2AB + BC$. $34 = 2AB + 12 \Rightarrow 2AB = 22 \Rightarrow AB = 11$ см. **Ответ: 11 см.** 3. В тупоугольном равнобедренном треугольнике основание всегда больше боковой стороны. Пусть боковая сторона равна $x$ см, тогда основание — $(x + 17)$ см. $x + x + (x + 17) = 77 \Rightarrow 3x = 60 \Rightarrow x = 20$. Боковые стороны: 20 см, 20 см. Основание: $20 + 17 = 37$ см. **Ответ: 20 см, 20 см, 37 см.** 4. 1) Пусть $\alpha$ — углы при основании. Биссектрисы делят их на $\frac{\alpha}{2}$. 2) В треугольнике, образованном биссектрисами и основанием, угол при вершине (точка пересечения) может быть $52^{\circ}$ или $180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$. 3) Если угол $128^{\circ}$, то $\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} + 128^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \alpha = 52^{\circ}$. Тогда угол при вершине треугольника: $180^{\circ} - 2 \cdot 52^{\circ} = 76^{\circ}$. 4) Если угол $52^{\circ}$, то $\alpha = 180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$, что невозможно (сумма углов при основании $256^{\circ} > 180^{\circ}$). **Ответ: 76°.** 5. Сумма углов треугольника $180^{\circ}$. $\angle A = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 60^{\circ}) = 50^{\circ}$. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона: $\angle B > \angle C > \angle A \Rightarrow AC > AB > BC$. **Ответ: AC > AB > BC.** 6. **Рис. 4.74.** 1) В $\triangle ABC$: $\angle A = 90^{\circ} - 27^{\circ} = 63^{\circ}$. 2) В $\triangle ACD$ (прямоугольный): $\angle ACD = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 63^{\circ} = 27^{\circ}$. 3) $CK$ — биссектриса $\angle C$, значит $\angle ACK = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}$. 4) $\angle DCK = \angle ACK - \angle ACD = 45^{\circ} - 27^{\circ} = 180^{\circ}$. **Ответ: 18°.** 7. Если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник — прямоугольный, а эта сторона — гипотенуза. Угол, из которого проведена медиана, равен $90^{\circ}$. **Ответ: 90°.**