Задача 1. На рисунке изображён граф с 4 вершинами A, B, C, D. Вершина A соединена с B и C; B соединена с A и D; C соединена с A и D; D соединена с B и C. Задача 2. В деревне 7 домов. Из каждого дома выходит 2 тропинки к другим домам.

### Задача 1. По условию связи (рёбра) графа следующие: A — B, A — C; B — A, B — D; C — A, C — D; D — B, D — C. 1. Степень вершины — это количество рёбер, выходящих из неё: $deg(A) = 2$ (связи с B и C) $deg(B) = 2$ (связи с A и D) $deg(C) = 2$ (связи с A и D) $deg(D) = 2$ (связи с B и C) 2. Чётная вершина имеет чётную степень, нечётная — нечётную. Все вершины (A, B, C, D) являются **чётными**, так как их степень равна 2. Нечётных вершин нет. 3. Сумма степеней всех вершин: $2 + 2 + 2 + 2 = 8$. 4. По лемме о рукопожатиях количество рёбер равно половине суммы степеней вершин: $8 : 2 = 4$. **Ответ: 1) по 2; 2) все чётные; 3) 8; 4) 4.** ### Задача 2. 1. Используем формулу: Сумма степеней вершин = $2 \times$ Количество рёбер. Сумма степеней: $7 \times 2 = 14$. Количество тропинок (рёбер): $14 : 2 = 7$. 2. Нет. По условию задачи из **каждого** дома выходит ровно 2 тропинки. 3. План деревни в виде графа представляет собой замкнутый цикл из 7 вершин (семиугольник). :::div .chart-container @chart-1::: 4. Если построят 8-й дом и проведут от него 2 тропинки к существующим домам, то общее количество тропинок увеличится на 2. Было 7, станет $7 + 2 = 9$. **Ответ: 1) 7; 2) нет; 3) граф-цикл; 4) станет 9.**