Решите задачи 1-6 на поиск углов при параллельных прямых.

Во всех задачах используется свойство параллельных прямых: при пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$. 1. Угол, смежный с углом $117^{\circ}$, равен $180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ}$. Угол $x$ и угол $63^{\circ}$ — накрест лежащие, значит $x = 63^{\circ}$. Углы $x$ и $y$ — смежные, значит $y = 180^{\circ} - 63^{\circ} = 117^{\circ}$. **Ответ: $x = 63^{\circ}, y = 117^{\circ}$**. 2. Угол $x$ и угол $56^{\circ}$ — односторонние, их сумма $180^{\circ}$. $x = 180^{\circ} - 56^{\circ} = 124^{\circ}$. Углы $x$ и $y$ — вертикальные, значит $y = x = 124^{\circ}$. **Ответ: $x = 124^{\circ}, y = 124^{\circ}$**. 3. Угол $x$ и угол $56^{\circ}$ — соответственные, значит $x = 56^{\circ}$. Угол, вертикальный углу $105^{\circ}$, равен $105^{\circ}$. Этот угол и $y$ — односторонние. $y = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$. **Ответ: $x = 56^{\circ}, y = 75^{\circ}$**. 4. Угол $x$ и угол $67^{\circ}$ — накрест лежащие, значит $x = 67^{\circ}$. Рассмотрим треугольник. Один его угол равен $41^{\circ}$, второй (вертикальный углу $x$) равен $67^{\circ}$. Третий угол треугольника равен $180^{\circ} - (41^{\circ} + 67^{\circ}) = 72^{\circ}$. Угол $y$ смежный с этим углом: $y = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$. **Ответ: $x = 67^{\circ}, y = 108^{\circ}$**. 5. Углы $5x$ и $x$ — односторонние, их сумма $180^{\circ}$. $5x + x = 180^{\circ} \Rightarrow 6x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 30^{\circ}$. Угол $y$ смежный с $5x$: $y = 180^{\circ} - 5 \cdot 30^{\circ} = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$. Угол $z$ смежный с $x$: $z = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$. **Ответ: $x = 30^{\circ}, y = 30^{\circ}, z = 150^{\circ}$**. 6. Так как $AB \parallel MN$, то $\angle B = \angle MNB$ как накрест лежащие при секущей $BN$, но по чертежу $MN$ пересекает стороны. Заметим, что треугольник $MNB$ равнобедренный ($MN=NB$), значит $\angle NMB = \angle B = 55^{\circ}$. Тогда $\angle MNB = 180^{\circ} - (55^{\circ} + 55^{\circ}) = 70^{\circ}$. Угол $y$ смежный с $\angle MNB$: $y = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$. Угол $x$ и $\angle MNB$ — накрест лежащие при $AB \parallel MN$ и секущей $BN$, значит $x = \angle MNB = 70^{\circ}$. **Ответ: $x = 70^{\circ}, y = 110^{\circ}$**.