Вопросы для повторения к главе VIII: Что называется отношением двух отрезков? В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1? Дайте определение подобных треугольников.

1. Отношением двух отрезков называется отношение их длин. 2. Говорят, что отрезки $AB$ и $CD$ пропорциональны отрезкам $A_1B_1$ и $C_1D_1$, если отношения их длин равны: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1}$. 3. Подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны. 4. Теорема: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия ($k^2$). Доказательство: Пусть $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ с коэффициентом $k$. Тогда $\frac{S}{S_1} = \frac{\frac{1}{2}ab \sin C}{\frac{1}{2}a_1b_1 \sin C_1} = \frac{a}{a_1} \cdot \frac{b}{b_1} = k \cdot k = k^2$ (так как $\angle C = \angle C_1$). 5. Первый признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Доказательство базируется на теореме об отношении площадей и равенстве углов. 6. Второй признак: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. 7. Третий признак: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны. 8. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине. Доказательство: Через подобие треугольников по второму признаку (общий угол и пропорциональные стороны). 9. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении $2:1$, считая от вершины. Доказательство: Используется свойство средней линии и подобие треугольников, образованных медианами. 10. Утверждение: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Доказательство: По первому признаку (равенство острых углов). 11. В прямоугольном треугольнике: — Высота, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу ($h^2 = a_c \cdot b_c$). — Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу ($a^2 = c \cdot a_c$).