Найдите на рисунке пару подобных треугольников и докажите их подобие. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=3:7, KM=12.

1. Рассмотрим $\triangle MSL$ и $\triangle RLV$. 1) $\angle M = \angle R$ (по условию, отмечены одной дугой). 2) $\angle S = \angle L$ (по условию, отмечены прямым углом $90^\circ$). Значит, $\triangle MSL \sim \triangle RLV$ (по двум углам, I признак подобия). 2. Рассмотрим $\triangle PDN$ и $\triangle SCF$. По условию $PD \parallel CN$ и $CN \parallel SF$ (так как $CN$ — средняя линия или параллельный отрезок в трапеции/треугольнике). 1) $\angle DPN = \angle CSF$ (как соответствующие при $PD \parallel SC$ и секущей $PS$). 2) $\angle PDN = \angle SCF$ (как соответствующие при $PD \parallel SC$ и секущей $DF$). Значит, $\triangle PDN \sim \triangle SCF$ (по двум углам). 3. В $\triangle ABC$ отрезок $KM \parallel AC$. По свойству прямой, параллельной стороне треугольника, $\triangle KBM \sim \triangle ABC$ (по двум углам: $\angle B$ — общий, $\angle BKM = \angle BAC$ как соответствующие). Из подобия следует пропорциональность сторон: $\frac{KM}{AC} = \frac{BK}{BA}$ Найдём сторону $BA$: $BA = BK + KA$ Так как $BK:KA = 3:7$, пусть $BK = 3x$, тогда $KA = 7x$. $BA = 3x + 7x = 10x$ Подставим известные значения в пропорцию: $\frac{12}{AC} = \frac{3x}{10x}$ $\frac{12}{AC} = \frac{3}{10}$ $3 \cdot AC = 12 \cdot 10$ $3 \cdot AC = 120$ $AC = 120 : 3 = 40$ **Ответ: 40**.