Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник прямоугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см.

Пусть $a$ — основание, $b$ — боковая сторона, $h$ — высота, проведённая к основанию, $S$ — площадь равнобедренного треугольника. а) Дано: $a = 12$ см, $h = 8$ см. 1. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является медианой. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковой стороной и половиной основания: $b = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см. 2. $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$. **Ответ: $10$ см; $48$ см$^2$.** б) Дано: $a = 18$ см, угол при вершине $\gamma = 120^\circ$. 1. Высота делит угол при вершине пополам: $120^\circ : 2 = 60^\circ$. Углы при основании равны $(180^\circ - 120^\circ) : 2 = 30^\circ$. 2. Из прямоугольного треугольника: $b = \frac{a/2}{\cos 30^\circ} = \frac{9}{\sqrt{3}/2} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ см. 3. Высота $h = (a/2) \cdot \tan 30^\circ = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см. 4. $S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ см$^2$. **Ответ: $6\sqrt{3}$ см; $27\sqrt{3}$ см$^2$.** в) Дано: треугольник прямоугольный равнобедренный, $h = 7$ см (высота к гипотенузе). 1. В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота к гипотенузе равна половине гипотенузы: $a = 2h = 2 \cdot 7 = 14$ см. 2. По теореме Пифагора ($b^2 + b^2 = a^2$): $2b^2 = 14^2 \Rightarrow 2b^2 = 196 \Rightarrow b^2 = 98 \Rightarrow b = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$ см. 3. $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 7 = 49$ см$^2$. **Ответ: $7\sqrt{2}$ см; $49$ см$^2$.**