Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 13 см и 15 см. Найдите расстояние от точки до прямой, если разность проекций наклонных на эту прямую равна 4 см.

Question

Вопрос:

Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 13 см и 15 см. Найдите расстояние от точки до прямой, если разность проекций наклонных на эту прямую равна 4 см.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть $h$ — расстояние от точки до прямой (высота/перпендикуляр), $l_1 = 15$ см и $l_2 = 13$ см — наклонные, $x_1$ и $x_2$ — их проекции на прямую соответственно. По условию $x_1 - x_2 = 4$ см. Используем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников, образованных наклонными, их проекциями и общим перпендикуляром: 1) $h^2 = l_1^2 - x_1^2 = 15^2 - x_1^2$ 2) $h^2 = l_2^2 - x_2^2 = 13^2 - x_2^2$ Приравняем выражения для $h^2$: $225 - x_1^2 = 169 - x_2^2$ $x_1^2 - x_2^2 = 225 - 169$ $x_1^2 - x_2^2 = 56$ Применим формулу разности квадратов $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 56$. Так как $x_1 - x_2 = 4$, получим: $4 & & \cdot (x_1 + x_2) = 56$ $x_1 + x_2 = 14$ Составим систему: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 14 \\ x_1 - x_2 = 4 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x_1 = 18 \Rightarrow x_1 = 9$ см. Тогда $x_2 = 14 - 9 = 5$ см. Найдем расстояние $h$: $h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ $h = \sqrt{144} = 12$ см. **Ответ: 12 см.**

Ответ ассистента

Другие решения