1048 Найдите косинусы углов треугольника с вершинами A (2; 8), B (-1; 5), C (3; 1).

1048. Для нахождения косинусов углов треугольника $ABC$ используем формулу косинуса угла между векторами: $\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$. 1. Косинус угла $A$ (между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$): $\vec{AB}(-1 - 2; 5 - 8) = \vec{AB}(-3; -3)$; $|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ $\vec{AC}(3 - 2; 1 - 8) = \vec{AC}(1; -7)$; $|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ $\cos A = \frac{(-3) \cdot 1 + (-3) \cdot (-7)}{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{-3 + 21}{15 \cdot 2} = \frac{18}{30} = 0,6$ 2. Косинус угла $B$ (между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$): $\vec{BA}(3; 3)$; $|\vec{BA}| = 3\sqrt{2}$ $\vec{BC}(3 - (-1); 1 - 5) = \vec{BC}(4; -4)$; $|\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ $\cos B = \frac{3 \cdot 4 + 3 \cdot (-4)}{3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{12 - 12}{24} = 0$ 3. Косинус угла $C$ (между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$): $\vec{CA}(-1; 7)$; $|\vec{CA}| = 5\sqrt{2}$ $\vec{CB}(-4; 4)$; $|\vec{CB}| = 4\sqrt{2}$ $\cos C = \frac{(-1) \cdot (-4) + 7 \cdot 4}{5\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{4 + 28}{20 \cdot 2} = \frac{32}{40} = 0,8$ **Ответ: 0,6; 0; 0,8.** 1049. Найдем координаты векторов сторон: $\vec{AB}(1 - (-1); -\sqrt{3} - \sqrt{3}) = \vec{AB}(2; -2\sqrt{3})$; $|\vec{AB}| = \sqrt{4 + 12} = 4$ $\vec{BC}(\frac{1}{2} - 1; \sqrt{3} - (-\sqrt{3})) = \vec{BC}(-0,5; 2\sqrt{3})$; $|\vec{BC}| = \sqrt{0,25 + 12} = \sqrt{12,25} = 3,5$ $\vec{AC}(\frac{1}{2} - (-1); \sqrt{3} - \sqrt{3}) = \vec{AC}(1,5; 0)$; $|\vec{AC}| = 1,5$ Косинус угла $A$ (между $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$): $\cos A = \frac{2 \cdot 1,5 + (-2\sqrt{3}) \cdot 0}{4 \cdot 1,5} = \frac{3}{6} = 0,5 \Rightarrow \angle A = 60^\circ$ Косинус угла $C$ (между $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$): $\vec{CA}(-1,5; 0)$, $\vec{CB}(0,5; -2\sqrt{3})$ $\cos C = \frac{-1,5 \cdot 0,5 + 0}{1,5 \cdot 3,5} = \frac{-0,75}{5,25} = -\frac{1}{7} \Rightarrow \angle C = \arccos(-\frac{1}{7})$ Угол $B = 180^\circ - 60^\circ - \arccos(-\frac{1}{7}) = 120^\circ - \arccos(-\frac{1}{7})$. **Ответ: $60^\circ$; $\arccos(-\frac{1}{7})$; $120^\circ - \arccos(-\frac{1}{7})$.** 1050. Используем свойства модуля вектора через скалярный квадрат: $|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}^2}$. 1. $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{(\vec{a} + \vec{b})^2} = \sqrt{\vec{a}^2 + 2\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2} = \sqrt{|\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^\circ + |\vec{b}|^2} = \sqrt{25 + 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 0,5 + 64} = \sqrt{25 + 40 + 64} = \sqrt{129}$ 2. $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{(\vec{a} - \vec{b})^2} = \sqrt{\vec{a}^2 - 2\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2} = \sqrt{25 - 40 + 64} = \sqrt{49} = 7$ **Ответ: $\sqrt{129}$; 7.** 1051. Раскроем скобки в скалярном произведении: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{a}||\vec{c}|\cos(\widehat{\vec{a}\vec{c}}) + |\vec{b}||\vec{c}|\cos(\widehat{\vec{b}\vec{c}}) = 1 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ + 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot 0,5 + 4 \cdot 0,5 = 1 + 2 = 3$ **Ответ: 3.** 1052. Вычислим $\vec{p} \cdot \vec{q} = ((\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c})((\vec{a} - \vec{b}) + \vec{c}) = (\vec{a} - \vec{b})^2 - \vec{c}^2 = \vec{a}^2 - 2\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2 - \vec{c}^2$. Так как $\vec{a} \perp \vec{b}$, то $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Подставим значения: $5^2 - 2 \cdot 0 + 2^2 - 4^2 = 25 + 4 - 16 = 13$. **Ответ: 13.**