Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите угол AMB, если ∠A = 58°, ∠B = 96°.

### Задача 235 1. Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^{\circ}$. Найдём $\angle A + \angle B$: $\angle A + \angle B = 180^{\circ} - \angle C = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$. 2. Так как $AM$ и $BM$ — биссектрисы, то в треугольнике $AMB$: $\angle MAB = \frac{1}{2} \angle A$, $\angle MBA = \frac{1}{2} \angle B$. 3. Сумма углов в $\triangle AMB$: $\angle AMB = 180^{\circ} - (\angle MAB + \angle MBA) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - \frac{1}{2} \cdot 130^{\circ} = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}$. **Ответ: 115°**. ### Задача 236 1. По условию $AM = \frac{1}{2} BC$. Так как $M$ — середина $BC$ (по определению медианы), то $BM = MC = \frac{1}{2} BC$. 2. Получаем, что $AM = BM$ и $AM = MC$. 3. В $\triangle ABM$ (равнобедренный): $\angle BAM = ∠ ABM$. В $\triangle ACM$ (равнобедренный): $\angle CAM = ∠ ACM$. 4. Угол $\angle A$ треугольника $ABC$ равен: $\angle A = \angle BAM + \angle CAM = \angle B + \angle C$. 5. Сумма углов $\triangle ABC$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$. Заменим $\angle B + \angle C$ на $\angle A$: $\angle A + \angle A = 180^{\circ} \Rightarrow 2\angle A = 180^{\circ} \Rightarrow \angle A = 90^{\circ}$. Так как один из углов прямой, треугольник $ABC$ — прямоугольный. Что и требовалось доказать. ### Задача 237 Утверждение верно. **Доказательство:** 1. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. 2. Пусть углы при основании равнобедренного треугольника равны $x$. Тогда внешний угол при вершине равен $x + x = 2x$. 3. Это в 2 раза больше угла при основании ($x$). Значит, такой случай возможен для любого равнобедренного треугольника.