640 Даны окружность с центром O радиуса 4,5 см и точка A. Через точку A проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если OA = 9 см.

640. В прямоугольном треугольнике, образованном центром $O$, точкой касания $B$ и точкой $A$, катет $OB$ (радиус) равен $4,5$ см, а гипотенуза $OA = 9$ см. Так как катет в два раза меньше гипотенузы, угол $\angle OAB = 30^{\circ}$. Весь угол между касательными равен $2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$. Ответ: $60^{\circ}$. 641. Пусть $M$ — середина $AO$. По условию $M$ лежит на окружности, значит $OM = R$. Тогда $AO = 2 \cdot OM = 2R$. В прямоугольном треугольнике $OBA$ катет $OB = R$, а гипотенуза $OA = 2R$. Следовательно, $\angle OAB = 30^{\circ}$. Тогда угол между касательными $\angle BAC = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$. Ответ: $60^{\circ}$. 642. В $\triangle OBA$ $\angle B = 90^{\circ}$ (радиус в точку касания), $OB = 3$ см, $OA = 6$ см. Так как $OB = \frac{1}{2} OA$, то $\angle OAB = 30^{\circ}$. По свойствам касательных: $AB = AC$ и $\angle OAB = \angle OAC = 30^{\circ}$, значит $\angle 3 = \angle 4 = 30^{\circ}$. По теореме Пифагора $AB = \sqrt{OA^2 - OB^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см. Ответ: $AB = 3\sqrt{3}$ см, $AC = 3\sqrt{3}$ см, $\angle 3 = 30^{\circ}$, $\angle 4 = 30^{\circ}$. 643. В $\triangle OBA$: $\angle B = 90^{\circ}$, $\angle OAB = 30^{\circ}$, $AB = 5$ см. Тогда $OA = \frac{AB}{\cos 30^{\circ}} = \frac{5}{\sqrt{3}/2} = \frac{10}{\sqrt{3}}$ см. Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB = AC = 5$ см) с углом $\angle BAC = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$, следовательно, он равносторонний, и $BC = AB = 5$ см. Ответ: $BC = 5$ см.