Для исследования числового ряда на сходимость можно пользоваться признаком Даламбера и признаком Коши. Тогда сходящимися являются ряды ...

Для определения сходимости рядов воспользуемся признаками Даламбера и Коши. 1. $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n+2}{8n}\right)^{-n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{8n}{n+2}\right)^n$ Применим радикальный признак Коши: $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{8n}{n+2} = \lim_{n\to\infty} \frac{8}{1 + \frac{2}{n}} = 8 > 1$. Ряд расходится. 2. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7^n}{(n+1)!}$ Применим признак Даламбера: $\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{7^{n+1}}{(n+2)!} \cdot \frac{(n+1)!}{7^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{7}{n+2} = 0 < 1$. Ряд сходится. 3. $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2n+1}{6n-5}\right)^n$ Применим радикальный признак Коши: $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{6n-5} = \lim_{n\to\infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{6 - \frac{5}{n}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} < 1$. Ряд сходится. 4. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^{n+1}}$ Применим признак Даламбера: $\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{5^{n+2}} \cdot \frac{5^{n+1}}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{5} = \infty > 1$. Ряд расходится. **Ответ: второй и третий варианты.**