10 класс геометрия Самостоятельная работа Пирамида 1 вариант. 1. Основание пирамиды — ромб с диагоналями 10 и 18 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Меньшее боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите большее боковое ребро пирамиды.

### Задача 1 1. Пусть $ABCD$ — ромб в основании, $O$ — точка пересечения диагоналей. Высота пирамиды $SO = H$. Диагонали ромба $AC = 18$ см, $BD = 10$ см. Тогда их половины: $AO = 9$ см, $BO = 5$ см. 2. Боковые ребра находятся из прямоугольных треугольников с катетами $H$ и половинами диагоналей ромба ($AO$ и $BO$): $L_1^2 = H^2 + 5^2$ (меньшее ребро) $L_2^2 = H^2 + 9^2$ (большее ребро) 3. Из условия $L_1 = 13$ см: $13^2 = H^2 + 25 \Rightarrow H^2 = 169 - 25 = 144$. 4. Находим большее ребро $L_2$: $L_2^2 = 144 + 9^2 = 144 + 81 = 225$ $L_2 = \sqrt{225} = 15$ см. **Ответ: 15 см.** ### Задача 2 1. В правильной треугольной пирамиде высота $SO = \sqrt{13}$ см, боковое ребро $SA = 5$ см. Найдем радиус описанной около основания окружности $R$: $R^2 = SA^2 - SO^2 = 5^2 - (\sqrt{13})^2 = 25 - 13 = 12 \Rightarrow R = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см. 2. Сторона основания $a$ через $R$: $a = R\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$ см. 3. Найдем апофему $h$ из прямоугольного треугольника (боковое ребро $SA$ — гипотенуза, половина стороны основания — катет): $h = \sqrt{SA^2 - (a/2)^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см. 4. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2} P h = \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 6) \cdot 4 = 36$ см². **Ответ: 36 см².** ### Задача 3 1. Пусть $a$ — сторона основания, $h = l$ — апофема. В треугольнике боковой грани угол при вершине равен $\alpha$. Половина этого угла $\alpha/2$. 2. Из прямоугольного треугольника в боковой грани: $\text{tg}(\alpha/2) = \frac{a/2}{l} \Rightarrow a = 2l \cdot \text{tg}(\alpha/2)$. 3. Площадь основания: $S_{осн} = a^2 = (2l \cdot \text{tg}(\alpha/2))^2 = 4l^2 \text{tg}^2(\alpha/2)$. 4. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2} P l = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot l = 2al = 2 \cdot (2l \cdot \text{tg}(\alpha/2)) \cdot l = 4l^2 \text{tg}(\alpha/2)$. 5. Полная поверхность: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 4l^2 \text{tg}^2(\alpha/2) + 4l^2 \text{tg}(\alpha/2) = 4l^2 \text{tg}(\alpha/2) (\text{tg}(\alpha/2) + 1)$. **Ответ: $4l^2 \text{tg}\frac{\alpha}{2} (\text{tg}\frac{\alpha}{2} + 1)$.**