Исследуйте функцию и постройте ее график y = x³ + 3x + 1

Исследуем функцию $y = x^3 + 3x + 1$ по стандартному плану: 1. **Область определения**: Функция определена для всех $x$, так как это многочлен. $D(y) = \mathbb{R}$. 2. **Четность/нечетность**: $f(-x) = (-x)^3 + 3(-x) + 1 = -x^3 - 3x + 1$. $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$. Функция ни четная, ни нечетная. 3. **Точки пересечения с осями**: - С осью $Oy$ ($x=0$): $y = 0^3 + 3 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$. - С осью $Ox$ ($y=0$): $x^3 + 3x + 1 = 0$. Уравнение имеет один вещественный корень (примерно $-0.32$), так как производная всегда положительна. 4. **Производная и экстремумы**: $y' = (x^3 + 3x + 1)' = 3x^2 + 3$. Приравняем к нулю: $3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$. Решений нет. Так как $y' > 0$ для любого $x$, функция **строго возрастает** на всей числовой прямой. Экстремумов нет. 5. **Вторая производная и точки перегиба**: $y'' = (3x^2 + 3)' = 6x$. $y'' = 0$ при $x = 0$. - При $x < 0$, $y'' < 0$ — график вогнут вниз (выпуклый). - При $x > 0$, $y'' > 0$ — график вогнут вверх (вогнутый). Точка $(0; 1)$ — точка перегиба. :::div .chart-container @chart-1::: **Ответ:** функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$, точка перегиба $(0; 1)$, пересекает $Oy$ в $(0; 1)$.