Решите задачи на свойства касательных: нахождение радиуса через угол 30 градусов, определение сторон описанного треугольника и нахождение расстояния от центра до точки пересечения касательных.

В задачах используются свойства отрезков касательных, проведённых из одной точки к окружности: они равны между собой и образуют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности и эту точку. **Задача 1 (про радиус)** Дано: $CD$ — касательная, $OC = 17$ дм, $\angle OCD = 30^{\circ}$. Найти: радиус $r$. 1. Касательная $CD$ перпендикулярна радиусу $OD$, проведённому в точку касания ($OD \perp CD$). Значит, $\triangle ODC$ — прямоугольный ($\angle D = 90^{\circ}$). 2. В прямоугольном треугольнике катет $OD$ лежит против угла в $30^{\circ}$ ($ \angle OCD = 30^{\circ}$). 3. По свойству такого катета: $OD = \frac{1}{2} OC = \frac{1}{2} \cdot 17 = 8,5$ дм. **Ответ: 2) 8,5 дм** **Задача 2 (периметр треугольника ADM)** Дано: треугольник описан около окружности. Точки касания делят стороны на отрезки длиной 2, 5, 6. 1. По свойству касательных из одной вершины выходят равные отрезки: - Отрезки от вершины $D$: оба равны 2. - Отрезки от вершины $M$: оба равны 5. - Отрезки от вершины $A$: оба равны 6. 2. Найдём длины сторон: $DM = 2 + 5 = 7$ $MA = 5 + 6 = 11$ $AD = 2 + 6 = 8$ **Ответ: 5) 7, 8, 11** **Задача 3 (найти AO)** Дано: $AB$ и $AC$ — касательные, $\angle BAC = 90^{\circ}$, радиус $r = 50$ мм. Найти: $AO$. 1. Отрезок $AO$ является биссектрисой угла между касательными: $\angle BAO = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$. 2. Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABO$ (где $\angle B = 90^{\circ}$, так как радиус перпендикулярен касательной). 3. $\sin(\angle BAO) = \frac{OB}{AO} \Rightarrow \sin(45^{\circ}) = \frac{50}{AO}$. 4. $AO = \frac{50}{\sin(45^{\circ})} = \frac{50}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{100}{\sqrt{2}} = \frac{100 \cdot \sqrt{2}}{2} = 50\sqrt{2}$ мм. **Ответ: 4) 50\sqrt{2} мм**