35.19. Решите уравнения: 1) (2,3x - 10)(5,29x^2 + 23x + 100) - 125x = 12,167x^3; 2) (20 + 1,7x)(2,89x^2 - 34x + 400) - 400x = 4,913x^3; 3) 5(x - 6)^3 - 13(2 + x)^3 + 32 = -8x^2(x + 21); 4) -6(4 + x)^3 + 3(5 - x)^3 = 1017 - 9x^2(3 + x).

Для решения первых двух уравнений воспользуемся формулами сокращённого умножения (разность и сумма кубов): $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$ и $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$. 1) $(2,3x - 10)(5,29x^2 + 23x + 100) - 125x = 12,167x^3$ Заметим, что $(2,3x)^2 = 5,29x^2$, $2,3x \cdot 10 = 23x$, $10^2 = 100$. Это формула разности кубов: $(2,3x)^3 - 10^3 - 125x = 12,167x^3$ $12,167x^3 - 1000 - 125x = 12,167x^3$ $-1000 - 125x = 0$ $-125x = 1000$ $x = 1000 : (-125)$ **Ответ: -8** 2) $(20 + 1,7x)(2,89x^2 - 34x + 400) - 400x = 4,913x^3$ Это формула суммы кубов: $(1,7x+20)((1,7x)^2 - 1,7x \cdot 20 + 20^2)$: $(1,7x)^3 + 20^3 - 400x = 4,913x^3$ $4,913x^3 + 8000 - 400x = 4,913x^3$ $8000 - 400x = 0$ $400x = 8000$ $x = 8000 : 400$ **Ответ: 20** 3) $5(x-6)^3 - 13(2+x)^3 + 32 = -8x^2(x+21)$ Раскроем кубы по формулам $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$: $5(x^3 - 18x^2 + 108x - 216) - 13(8 + 12x + 6x^2 + x^3) + 32 = -8x^3 - 168x^2$ $5x^3 - 90x^2 + 540x - 1080 - 104 - 156x - 78x^2 - 13x^3 + 32 = -8x^3 - 168x^2$ $-8x^3 - 168x^2 + 384x - 1152 = -8x^3 - 168x^2$ $384x = 1152$ $x = 1152 : 384$ **Ответ: 3** 4) $-6(4 + x)^3 + 3(5 - x)^3 = 1017 - 9x^2(3 + x)$ $-6(64 + 48x + 12x^2 + x^3) + 3(125 - 75x + 15x^2 - x^3) = 1017 - 27x^2 - 9x^3$ $-384 - 288x - 72x^2 - 6x^3 + 375 - 225x + 45x^2 - 3x^3 = 1017 - 27x^2 - 9x^3$ $-9x^3 - 27x^2 - 513x - 9 = 1017 - 27x^2 - 9x^3$ $-513x = 1017 + 9$ $-513x = 1026$ $x = 1026 : (-513)$ **Ответ: -2**