Решите уравнение 5sin²x + 2sin x cos x - cos²x = 1

Для решения однородного тригонометрического уравнения второго порядка воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$: $5\sin^2 x + 2\sin x \cos x - \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x$ Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные: $4\sin^2 x + 2\sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$ Разделим обе части уравнения на $2$: $2\sin^2 x + \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$ Разделим уравнение на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$, так как если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно по основному тождеству): $2\text{tg}^2 x + \text{tg} x - 1 = 0$ Введём замену $t = \text{tg} x$: $2t^2 + t - 1 = 0$ $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$ $t_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1; \quad t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = 0,5$ Вернёмся к переменной $x$: 1) $\text{tg} x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\text{tg} x = 0,5 \Rightarrow x = \text{arctg}(0,5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n; \text{arctg}(0,5) + \pi k; n, k \in \mathbb{Z}$**