Найдите наибольшее значение функции y = 3 - x + x^3/3 на отрезке [0; 3].

Question

Вопрос:

Найдите наибольшее значение функции y = 3 - x + x^3/3 на отрезке [0; 3].

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для поиска наибольшего значения функции $y = 3 - x + \frac{x^3}{3}$ на отрезке $[0; 3]$ воспользуемся алгоритмом исследования функции с помощью производной: 1. Найдем производную функции: $y' = (3 - x + \frac{x^3}{3})' = 0 - 1 + \frac{3x^2}{3} = x^2 - 1$. 2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$. 3. Отберем точки, принадлежащие отрезку $[0; 3]$: $x = 1 \in [0; 3]$; $x = -1 \notin [0; 3]$. 4. Вычислим значения функции в критической точке $x = 1$ и на концах отрезка ($x = 0$ и $x = 3$): $y(0) = 3 - 0 + \frac{0^3}{3} = 3$; $y(1) = 3 - 1 + \frac{1^3}{3} = 2 + \frac{1}{3} = 2\frac{1}{3}$; $y(3) = 3 - 3 + \frac{3^3}{3} = 0 + \frac{27}{3} = 9$. 5. Сравним полученные результаты: $3$, $2\frac{1}{3}$ и $9$. Наибольшее значение равно $9$. **Ответ: 9**.

Найдите наибольшее значение функции y = 3 - x + x^3/3 на отрезке [0; 3].

Ответ ассистента

Другие решения