Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к стороне, делит её на отрезки длиной 4 см и 25 см. Найдите диагонали ромба.

Пусть $ABCD$ — ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Проведём перпендикуляр $OH$ к стороне $AB$. По условию $AH = 4$ см, $HB = 25$ см. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом ($∠AOB = 90^∘$), поэтому треугольник $AOB$ — прямоугольный, а $OH$ — его высота, проведённая к гипотенузе. 1. Найдём высоту $OH$ через проекции катетов на гипотенузу: $OH = √{AH ⋅ HB} = √{4 ⋅ 25} = √{100} = 10$ см. 2. Найдём катеты $AO$ и $BO$ по теореме Пифагора для треугольников $AOH$ и $BOH$: $AO = √{AH^2 + OH^2} = √{4^2 + 10^2} = √{16 + 100} = √{116} = 2√{29}$ см. $BO = √{HB^2 + OH^2} = √{25^2 + 10^2} = √{625 + 100} = √{725} = 5√{29}$ см. 3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам: $AC = 2 ⋅ AO = 2 ⋅ 2√{29} = 4√{29}$ см. $BD = 2 ⋅ BO = 2 ⋅ 5√{29} = 10√{29}$ см. **Ответ: 4√{29} см и 10√{29} см.**