490 Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник прямоугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см.

490. Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) Основание $a = 12$ см, высота $h = 8$ см. 1. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является медианой. Половина основания: $12 : 2 = 6$ (см). 2. По теореме Пифагора боковая сторона $c$: $c = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ (см). 3. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ (см$^2$). Ответ: 10 см; 48 см$^2$. б) Основание $a = 18$ см, угол против основания $\alpha = 120^\circ$. 1. Углы при основании: $(180^\circ - 120^\circ) : 2 = 30^\circ$. 2. Высота $h$ делит треугольник на два прямоугольных с углами $30^\circ$ и $60^\circ$. Катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы, но здесь нам известно прилежащее к $30^\circ$ основание (половина): $18 : 2 = 9$ (см). Из определения косинуса боковая сторона $c$: $c = \frac{a/2}{\cos 30^\circ} = \frac{9}{\sqrt{3}/2} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ (см). 3. Высота $h = (a/2) \cdot \tan 30^\circ = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ (см). 4. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ (см$^2$). Ответ: $6\sqrt{3}$ см; $27\sqrt{3}$ см$^2$. в) Треугольник прямоугольный и высота к гипотенузе $h = 7$ см. Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, углы при основании (гипотенузе) равны $45^\circ$. 1. Высота в таком треугольнике равна половине гипотенузы: $a = 2 \cdot h = 2 \cdot 7 = 14$ (см). 2. Боковая сторона (катет) $c$ по теореме Пифагора ($c^2 + c^2 = a^2$): $2c^2 = 14^2 \Rightarrow 2c^2 = 196 \Rightarrow c^2 = 98 \Rightarrow c = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$ (см). 3. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 7 = 49$ (см$^2$). Ответ: $7\sqrt{2}$ см; 49 см$^2$.