Вычислите значение выражения: log₃135/log₄₅3 - log₃5/log₁₂₁₅3

Question

Вопрос:

Вычислите значение выражения: log₃135/log₄₅3 - log₃5/log₁₂₁₅3

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения воспользуемся свойством логарифма $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$. Это позволит перенести знаменатели в числители: 1. Преобразуем каждое слагаемое: $\frac{\log_3 135}{\log_{45} 3} = \log_3 135 \cdot \log_3 45$ $\frac{\log_3 5}{\log_{1215} 3} = \log_3 5 \cdot \log_3 1215$ 2. Разложим числа под логарифмами на множители, содержащие степени тройки и число 5: $135 = 27 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5 \Rightarrow \log_3 135 = \log_3 (3^3 \cdot 5) = 3 + \log_3 5$ $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5 \Rightarrow \log_3 45 = \log_3 (3^2 \cdot 5) = 2 + \log_3 5$ $1215 = 243 \cdot 5 = 3^5 \cdot 5 \Rightarrow \log_3 1215 = \log_3 (3^5 \cdot 5) = 5 + \log_3 5$ 3. Пусть $x = \log_3 5$. Подставим в выражение: $(3 + x)(2 + x) - x(5 + x) = 6 + 3x + 2x + x^2 - 5x - x^2 = 6 + 5x - 5x = 6$ **Ответ: 6**

Вычислите значение выражения: log₃135/log₄₅3 - log₃5/log₁₂₁₅3

Ответ ассистента

Другие решения