Найдите значение выражения √108cos²(π/12) - √27

Для решения воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$. 1. Преобразуем выражение: $\sqrt{108}\cos^2 \frac{\pi}{12} - \sqrt{27} = \sqrt{108} \cdot \frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{12})}{2} - \sqrt{27}$ 2. Упростим коэффициенты и аргумент косинуса: $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ $2 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ 3. Подставим значения: $6\sqrt{3} \cdot \frac{1 + \cos\frac{\pi}{6}}{2} - 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}(1 + \cos\frac{\pi}{6}) - 3\sqrt{3}$ 4. Раскроем скобки: $3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \cdot \cos\frac{\pi}{6} - 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot \cos\frac{\pi}{6}$ 5. Так как $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$ **Ответ: 4,5**