Основанием пирамиды DABC является треугольник, в котором AB=20 см, AC=29 см, BC=21 см. Грани DAB и DAC перпендикулярны к плоскости основания, а грань DBC составляет с ней угол в 60 градусов. Найдите объем пирамиды.

Для решения задачи №696 воспользуемся формулами для нахождения площади основания и объёма пирамиды. 1. **Найдём площадь основания $ABC$ по формуле Герона**: $p = \frac{20 + 29 + 21}{2} = 35$ (см) — полупериметр. $S_{осн} = \sqrt{35 \cdot (35 - 20) \cdot (35 - 29) \cdot (35 - 21)} = \sqrt{35 \cdot 15 \cdot 6 \cdot 14} = \sqrt{44100} = 210$ (см$^2$). 2. **Определим высоту пирамиды**: Так как грани $DAB$ и $DAC$ перпендикулярны плоскости основания, их общее ребро $AD$ является высотой пирамиды ($H = AD$). Пусть $AK$ — высота треугольника $ABC$, проведённая к стороне $BC$. По теореме о трёх перпендикулярах $DK \perp BC$, значит, $\angle DKA = 60^\circ$ (линейный угол двугранного угла при основании). $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK \Rightarrow 210 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot AK \Rightarrow AK = 20$ (см). Из прямоугольного $\triangle DAK$: $H = AD = AK \cdot \text{tg } 60^\circ = 20\sqrt{3}$ (см). 3. **Найдём объём пирамиды**: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 210 \cdot 20\sqrt{3} = 1400\sqrt{3}$ (см$^3$). **Ответ: $1400\sqrt{3}$ см$^3$.**