Из бутыли, наполненной 12%-ным раствором соли, отлили 1 л и долили в бутыль воду, затем отлили ещё литр и опять долили водой. В итоге в бутыли оказался 3%-й раствор соли. Какова вместимость бутыли?

Пусть $V$ — вместимость бутыли (в литрах), а $x = 0{,}12$ — начальная концентрация соли. 1. После того как из бутыли отлили $1$ литр раствора, в ней осталось $(V - 1)$ литров раствора с концентрацией $x$. Масса соли: $x(V - 1)$. 2. После того как долили воду до объема $V$, новая концентрация стала: $x_1 = \frac{x(V - 1)}{V}$. 3. Затем снова отлили $1$ литр уже нового раствора. В бутыли осталось $(V - 1)$ литров раствора с концентрацией $x_1$. Масса соли: $x_1(V - 1) = \frac{x(V - 1)^2}{V}$. 4. После повторного доливания воды объем снова стал $V$, а итоговая концентрация $x_2 = 0{,}03$: $x_2 = \frac{x(V - 1)^2}{V^2}$. Подставим значения: $0{,}03 = \frac{0{,}12 \cdot (V - 1)^2}{V^2}$ $\frac{0{,}03}{0{,}12} = \left(\frac{V - 1}{V}\right)^2$ $0{,}25 = \left(1 - \frac{1}{V}\right)^2$ Извлечем корень (объем $V > 1$, значит $1 - \frac{1}{V} > 0$): $0{,}5 = 1 - \frac{1}{V}$ $\frac{1}{V} = 0{,}5$ $V = 2$. Ответ: 2