27. От столба к дому натянут провод длиной 17 м, который закреплён на стене дома на высоте 4 м от земли (см. рис.). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 15 м.

Для решения большинства этих задач используется теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза прямоугольного треугольника. 27. Провод — гипотенуза (17 м), расстояние до дома — нижний катет (15 м). Найдём вертикальный катет (разницу высот): $\sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$ м. Разница между высотой столба ($x$) и креплением на доме (4 м) равна 8 м. Значит, $x - 4 = 8$, откуда $x = 12$. Ответ: 12 м. 28. Провод (10 м), расстояние (8 м). Разница высот: $\sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ м. Высота столба: $x - 3 = 6$, откуда $x = 9$. Ответ: 9 м. 29. Лестница (3 м), расстояние (1,8 м). Высота: $\sqrt{3^2 - 1,8^2} = \sqrt{9 - 3,24} = \sqrt{5,76} = 2,4$. Ответ: 2,4 м. 30. Лестница (2 м), расстояние (1,2 м). Высота: $\sqrt{2^2 - 1,2^2} = \sqrt{4 - 1,44} = \sqrt{2,56} = 1,6$. Ответ: 1,6 м. 31. Перемещения образуют прямоугольную трапецию. По горизонтали: $500 - 100 = 400$ м. По вертикали: $300$ м. Расстояние: $\sqrt{400^2 + 300^2} = \sqrt{160000 + 90000} = \sqrt{250000} = 500$. Ответ: 500 м. 32. По горизонтали: $140 - 140 = 0$ м. По вертикали: $20$ м. Так как девочка вернулась на ту же долготу, расстояние равно длине пути на север. Ответ: 20 м. 33. Время 30 мин = 0,5 ч. Путь мальчика: $4 \cdot 0,5 = 2$ км. Путь девочки: $3 \cdot 0,5 = 1,5$ км. Расстояние: $\sqrt{2^2 + 1,5^2} = \sqrt{4 + 2,25} = \sqrt{6,25} = 2,5$. Ответ: 2,5 км. 34. Время 12 мин = 0,2 ч. Путь мальчика: $4 \cdot 0,2 = 0,8$ км. Путь девочки: $3 \cdot 0,2 = 0,6$ км. Расстояние: $\sqrt{0,8^2 + 0,6^2} = \sqrt{0,64 + 0,36} = \sqrt{1} = 1$. Ответ: 1 км. 35. Разница высот: $31 - 6 = 25$ м. Расстояние между стволами: $60$ м. Расстояние между верхушками: $\sqrt{60^2 + 25^2} = \sqrt{3600 + 625} = \sqrt{4225} = 65$. Ответ: 65 м. 36. Разница высот: $48 - 16 = 32$ м. Расстояние между стволами: $60$ м. Расстояние: $\sqrt{60^2 + 32^2} = \sqrt{3600 + 1024} = \sqrt{4624} = 68$. Ответ: 68 м. 37. Пути за 2 часа: $15 \cdot 2 = 30$ км и $20 \cdot 2 = 40$ км. Расстояние: $\sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$. Ответ: 50 км. 38. Пути за 2 часа: $10 \cdot 2 = 20$ км и $24 \cdot 2 = 48$ км. Расстояние: $\sqrt{20^2 + 48^2} = \sqrt{400 + 2304} = \sqrt{2704} = 52$. Ответ: 52 км.